Question

已知正方形ABCD，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；
（2）將圖①中的△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②，取DF的中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到印結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）將圖①中的△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③，再連接相應(yīng)的線段，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）結(jié)論依然成立．過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖①，在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點，
∴CG=

1

2

FD，
在Rt△DEF中，
∵G為DF的中點，
∴EG=

1

2

FD，
∴CG=EG；
（2）如圖②，（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．
理由：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
∴∠AMG=∠DMG=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
在△DAG和△DCG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
∵G為DF的中點，
∴GD=GF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠BAD，
∴AD∥EF，
∴∠N=∠DMG=90°．
在△DMG和△FNG中，

∠DGM=∠FGN FG=DG ∠MDG=∠NFG

，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠DA∠AMG=∠N=90°，
∴四邊形AENM是矩形，
∴AM=EN，
在△AMG和△ENG中，

AM=EN ∠AMG=∠ENG MG=NG

，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG； 
（3）如圖③，（1）中的結(jié)論仍然成立．
理由：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN⊥AB于N．
∵M(jìn)F∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB，
∴∠FNH=∠ANF=90°．
∵G為FD中點，
∴GD=GF．
在△MFG和△CDG中

∠FMG=∠DCG ∠MFD=∠CDG GF=GD

，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD=FM．MG=CG．
∴MF=AB．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，
∴∠NFH=∠EBH．
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，
∴四邊形ANFQ是矩形，
∴∠MFN=90°．
∴∠MFN=∠CBN，
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，
∴∠MFE=∠CBE．
在△EFM和△EBC中

MF=AB ∠MFE=∠CBE EF=EB

，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，
即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G為CM中點，
∴EG=CG，EG⊥CG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，矩形的判定就性質(zhì)的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．