Question

13．如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．
（1）求證：△DBN≌△DCM；
（2）請(qǐng)?zhí)骄烤�段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角夾邊相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．
（2）結(jié)論：NE-ME=CM．作DF⊥MN于點(diǎn)F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可證明．

解答 （1）證明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45°，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠MDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠A=∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDN=∠CDM}\\{BD=DC}\\{∠DBN=∠DCM}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△DCM．

（2）結(jié)論：NE-ME=CM．                                 
證明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．
作DF⊥MN于點(diǎn)F，又 ND⊥MD，
∴DF=FN，
在△DEF和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠CEM}\\{∠DFE=∠CME}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEM，
∴ME=EF，CM=DF，
∴CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．