Question

1．如圖所示，以正方形ABCO的點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中線段OA在y軸上，線段OC在x軸上，其中正方形ABCO的周長為24．
（1）求出B、C兩點坐標；
（2）若與y軸重合的直線l以每秒1個單位長度的速度由y軸向右平移，移動到與BC所在直線重合停止，移動過程中l(wèi)與AB、OC交點分別為N、M，問：運動多長時間時，長方形AOMN的周長與長方形NMCB的周長之比為5：4．
（3）在（2）的條件下，若直線l上有一點E，連接AE、BE，恰好滿足AE⊥BE，求出∠OAE+∠CBE的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據正方形的周長為24，即可求出B、C點坐標；
（2）根據長方形AOMN的周長=6+6+2t=12+2t，長方形NMCB的周長=6+6+2（6-t）=24-2t，列出t的一元一次方程，求出t的值即可；
（3）進行分類討論：①當點E在線段AB上方時，②當點E在線段AB下方時，根據平行線的性質以及角之間的關系求出∠OAE+∠CBE的度數(shù)．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的周長為24，
∴OA=OC=BC=AB=4，
則B（6，6），C（6，0）；

（2）設經過t秒滿足題意，
則OM=AN=t，MC=NB=6-t，
長方形AOMN的周長=6+6+2t=12+2t，
長方形NMCB的周長=6+6+2（6-t）=24-2t，
則12+2t=$\frac{5}{4}$（24-2t），
解得：t=4；

（3）分類討論
由AE⊥BE，可得：∠AEB=90°，
①如圖2，E在AB上方，
∵AO∥BC∥l
∴∠OAE+∠MEA=180°，∠CBE+∠MEB=180°，
∴∠OAE+∠MEA+∠CBE+∠MEB=360°，
∵∠AEB=∠MEA+∠MEB=90°，
∴∠OAE+∠CBE=360°-90°=270°，
②如圖3，若E在AB下方，
∵AO∥BC∥l，
∴∠OAE=∠AEN，∠CBE=∠NEB，
∴∠OAE+∠CBE=∠AEN+∠NEB=∠AEB=90°，
即∠OAE+∠CB=90°．
綜上所述，∠OAE+∠CBE=270°或∠OAE+∠CBE=90°．

點評 本題主要考查了正方形的性質以及平行線的性質的知識點，此題涉及的考點知識較多，有一定的難度，特別是第三問需要分類討論，需要同學們熟練掌握知識進行解答．