Question

已知拋物線y=ax²+bx與x軸交于點(diǎn)B （-4，0），頂點(diǎn)為（A-2，-4）；連接AB，把AB所在直線沿y軸上下平移的直線設(shè)為l：y=kx+m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，試在l上找一點(diǎn)P，使四邊形BAOP為直角梯形，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）直線l在上下平移過(guò)程中是否存在x的取值范圍，使y=ax²+bx與y=kx+m都隨x的增大而減��？若存在請(qǐng)求出其范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+2）²-4，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a，即可得解；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB的解析式，再根據(jù)平移得到平移后的直線解析式，過(guò)點(diǎn)P作BP⊥OP于P，根據(jù)直線解析式設(shè)點(diǎn)P（a，-2a），利用勾股定理表示出列出方程求解即可；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答即可．

解答：解：（1）設(shè)y=a（x+2）²-4，
∵過(guò)點(diǎn)B（-4，0），
∴（-4+2）²-4=0，
解得a=1，
∴y=（x+2）²-4；

（2）如圖，∵直線y=kx+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-4），B（-4，0），
∴

-2k+m=-4 -4k+m=0

，
解得

k=-2 m=-8

，
∴直線AB的解析式為y=-2x-8，
∴平移后過(guò)原點(diǎn)的直線為y=-2x，
∵四邊形BAOP為直角梯形，
∴過(guò)點(diǎn)B作BP⊥OP，設(shè)P（a，-2a），
∵BP⊥OP，
∴OP²+BP²=BO²，
∴（a²+4a²）+（a+4）²+4a²=16，
整理得，5a²+4a=0，
解得a₁=-

4

5

，a₂=0（舍去），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4

5

，

8

5

）；

（3）∵y=kx+m在平移過(guò)程中k=-2始終保持不變，
∴當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，y都隨x的增大而減小，
∵y=ax²+bx即y=（x+2）²-4，當(dāng)x≤-2時(shí)，y都隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x≤-2時(shí)，y=kx+m與y=ax²+bx的y值都隨x的增大而減�。�

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，二次函數(shù)與一次函數(shù)的增減性，難點(diǎn)在于（2）利用勾股定理列出方程，作出圖形更形象直觀．