Question

18．在正方形ABCD中，M、N是對角線AC上的兩點．
（1）如圖①，AM=CN，連接DM并延長，交AB于點F，連接BN并延長，交DC于點E，連接BM、DN．
求證：①四邊形MBND為菱形
②△MFB≌△NED．
（2）如圖②，AM≠CN，連接BM并延長交AD于點G，連接DH并延長交BC于點N．連接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，則∠GMD﹢∠HNB的度數(shù)是80°．

Answer 1

分析 （1））①如圖①中，連接BD交AC于O，先證明四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)NM⊥BD即可證明．
②先證明四邊形BFDE是平行四邊形，得到∠BFM=∠DEN，再證明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解決問題．
（2）分別求出∠GMD、∠HNB即可解決問題．

解答 （1）①證明：如圖①中，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四邊形MBND是平行四邊形，
∵M(jìn)N⊥DB，
∴四邊形MBND是菱形．
②證明：∵四邊形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠BMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．

（2）如圖②中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
在△NCB和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=CN}\\{∠NCB=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△NCB≌△NCD，
∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可證∠AMD=∠AMB=105°，
∵∠CNH=180°-∠DNC=65°，
∴∠BNH=∠BNC-∠CNH=50°，
∴∠DMG=105°-75°=30°，
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°．
故答案為80．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．