Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF交CD于點(diǎn)G，設(shè)BE=x．
（1）求證：△AED∽△CFD；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BEF的面積最大？
（3）連接BG，若四邊形BGDE是平行四邊形，求此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF=3-$\sqrt{3}$x，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論；
（3）y為最大值時(shí)，四邊形BGDE是平行四邊形，由CG∥BE，得△CFG∽△BFE，得 $\frac{CG}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，求出CG，DG，只要證明BE=DG即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；

（2）∵BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$-x，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3-$\sqrt{3}$x，
∴BF=BC+CF=4-$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x（4-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x，
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)x為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 時(shí)，y有最大值；

（3）∵四邊形BGDE是平行四邊形，
∴BE=DG，
∵CG∥EB，
∴$\frac{CG}{EB}$=$\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{CG}{x}$=$\frac{3-\sqrt{3}x}{4-\sqrt{3}x}$，
∴CG=$\frac{x（3-\sqrt{3}x）}{4-\sqrt{3}x}$，
∴x=$\sqrt{3}$-$\frac{x（3-\sqrt{3}x）}{4-\sqrt{3}x}$，
整理得2$\sqrt{3}$x²-10x+4$\sqrt{3}$=0，
∴（$\sqrt{3}$x-2）（2x-2$\sqrt{3}$）=0，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$（舍棄）．
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，四邊形BEDG是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最大值、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．