Question

如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；
（1）求證：CF=EB；    
（2）若AC=8，CD=4，求四邊形AFDB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE與CD的關(guān)系，根據(jù)HL，可得△BDE與△FDC間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得EB的長(zhǎng)，根據(jù)根據(jù)勾股定理，可得FD的長(zhǎng)，再根據(jù)面積的和差，可得答案．

解答：（1）證明：∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，
∴CD=DE．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=DE DF=BD

，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
（2）設(shè)BE的長(zhǎng)是x，
∵∠B=∠B，∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴

BE

BC

=

DE

AC

x

4+ x2+42

=

4

8

，
解得x=

16

3

，CF=EB=

16

3

BC=4+

( 16 3 )2+42

=

42×(42+32) 32

+4=

32

3

，
S_{四邊形AFDB}=S_△ABC-S_△CFD
=

1

2

AC•BC-

1

2

CF•CD
=

1

2

×8×

32

3

-

1

2

×

16

3

×4
=32

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，面積的和差．