Question

如圖甲，二次函數(shù)y=ax²+bx+5圖象的頂點為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該二次函數(shù)圖象頂點Q的坐標；
（2）如圖乙，若點D是第一象限該函數(shù)圖象上的一個動點，過D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個同學(xué)說：“在第一象限函數(shù)圖象上的所有點中，該函數(shù)圖象的頂點Q與x軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D-E-O的長度最長”，這個同學(xué)的說法正確嗎？請說明理由．
②試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=ax²+bx+5中即可確定a、b的值，然后配方后即可確定其頂點坐標；
（2）①設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長度為L，求得L的最大值后與當點D與Q重合時L=9+2=11＜

45

4

相比較即可得到答案；
②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據(jù)DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=ax²+bx+5中，
得

a-b+5=0 25a+5b+5=0

，解得

a=-1 b=4

，
∴二次函數(shù)為y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）．

（2）①這個同學(xué)的說法不正確．
∵設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長度為L，則L=-t²+4t+5+t=-t²+5t+5=-（t-

5

2

）²+

45

4

，
∵a＜0，
∴當t=

5

2

時，L最大值=

45

4

．
而當點D與Q重合時，L=9+2=11＜

45

4

，
∴該該同學(xué)的說法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，
∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，即OE=BE=2.5．
當x_F=2.5時，y_F=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當x_D=2.5時，yD=-（2.5-2）2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點的確定方法及有關(guān)的幾何知識．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．