Question

13．已知?ABCD，∠A=30°，AD⊥BD于點D，且AB=6，點P是射線BA上一動點，過點P作PE⊥BD，交BD所在直線于點E，點Q是射線CD上一動點，且CQ=2AP，以QD，QE為鄰邊構(gòu)造?DFEQ，設(shè)BP的長度為m．
（1）當點P在邊AB上時，
①請用含m的代數(shù)式表示DE；
②當m=3.6時，求證：?DFEQ是菱形；
（2）在點P的整個運動過程中，
①當m為何值時，?DFEQ為矩形；
②當點F恰好落在?ABCD的邊界上，求m的值（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）如圖1，①根據(jù)平行線分線段成比例定理列式，求出DE的長即可；
②先求DQ和DE的長，再求∠BDC=60°，得△EDQ為等邊三角形，所以DQ=EQ，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得結(jié)論；
（2）①分兩種情況進行討論：如圖2，當點P在線段AB上時；如圖3，當點P在線段BA的延長線上時；都根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半列式求出m的值，要注意圖3中，因為點P在BA的延長線上，所以AP、DQ、DE的長有所變化，準確表示出來；
②分兩種情況：當點F落在BC或AD邊上時，利用EF=DQ列式計算即可．

解答 解：（1）如圖1，①∵BP=m，AB=6，
∴AP=6-m，
∵∠A=30°，∠ADB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵AD⊥BD，PE⊥BD，
∴AD∥PE，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{DE}{BD}$，
∴$\frac{6-m}{6}=\frac{DE}{3}$，
∴DE=$\frac{6-m}{2}$（0≤m≤6）；
②當m=3.6時，AP=6-3.6=2.4，
∴CQ=2AP=4.8，
∴DQ=CD-CQ=6-4.8=1.2，
由①得：DE=$\frac{6-m}{2}$=$\frac{6-3.6}{2}$=1.2，
∴DQ=DE，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=60°，
∴△EDQ為等邊三角形，
∴EQ=DQ，
∴?DFEQ是菱形；
（2）①?DFEQ為矩形時可分為兩種情況：
如圖2，當點P在線段AB上時，即0≤m≤6時，此時EQ⊥DQ，∠EDQ=60°，
則∠DEQ=30°，
∴DE=2DQ，即$\frac{6-m}{2}$=2[6-2（6-m）]，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
如圖3，當點P在線段BA的延長線上時，即m＞6時，BP=m，AP=m-6，DQ=2（m-6），
同理得：$\frac{AB}{AP}=\frac{BD}{DE}$，
∴$\frac{6}{6-m}=\frac{3}{DE}$，
∴DE=$\frac{m-6}{2}$，
此時EQ⊥DQ，∠EDQ=∠BDC=60°，
∴∠DEQ=30°，
∴DE=2DQ，即$\frac{m-6}{2}$=2[2（m-6）-6]，
解得：m=$\frac{66}{7}$，
綜上所述：當m=$\frac{10}{3}$或$\frac{66}{7}$時，?DFEQ為矩形；
②當點F恰好落在?ABCD的邊界上時，有兩種情況：
當點F落在BC邊上時，如圖4，此時EF=PB=DQ，
∴m=2（6-m）-6，
m=2，
當點F落在AD邊上時，如圖5，此時EF=AP=DQ，
∴6-m=6-2（6-m），
m=4，
綜上所述，當點F恰好落在?ABCD的邊界上時，m的值為2或4．

點評 本題是四邊形的綜合題，也是旋轉(zhuǎn)變換問題，考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定和性質(zhì)；在求m的值時，都是在某一條件下根據(jù)邊的關(guān)系列方程求解，得出結(jié)論；本題容易漏解，因此要細心畫圖，仔細分析．