Question

3．已知關(guān)于x的方程ax²-x=$\frac{2}{a}$，其中a≠0．
（1）求證：方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求整數(shù)a的值，并求出方程的根．

Answer 1

分析 （1）將原方程變形為一元二次方程的一般式，根據(jù)a≠0結(jié)合根的判別式即可得出△=9＞0，由此即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁、x₂（x₁＜x₂），由求根公式表示出來x₁=$\frac{1-3}{2a}$，x₂=$\frac{1+3}{2a}$，再根據(jù)x₁、x₂、a均為整數(shù)，即可求出a的值，將其代入求根公式中即可得出方程的解．

解答 （1）證明：方程ax²-x=$\frac{2}{a}$可變形為方程ax²-x-$\frac{2}{a}$=0，
∵a≠0，△=（-1）²-4a×（-$\frac{2}{a}$）=9＞0，
∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁、x₂（x₁＜x₂），
則x₁=$\frac{1-3}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{1+3}{2a}$=$\frac{2}{a}$，
∵x₁、x₂、a均為整數(shù)，
∴a=±1．
當(dāng)a=1時(shí)，x₁=-1，x₂=2；
當(dāng)a=-1時(shí)，x₁=1，x₂=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及求根公式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=9＞0；（2）根據(jù)x₁、x₂、a均為整數(shù)確定a的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由方程的兩根均為整數(shù)確定a的值是難點(diǎn)．