Question

7．如圖，已知線段AB=4，C為線段AB上的一個動點（不與點A，B重合），分別以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．由三線合一可知AP與BP為CD、CE垂直平分線；再由垂徑定理可知圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點；連OC，若半徑OC最短，則OC⊥AB，由△AOB為底邊4，底角30°的等腰三角形，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．
∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴AP與BP為CD、CE垂直平分線．
又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點．
連接OC．
若半徑OC最短，則OC⊥AB．
又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，
∴OA=OB，
∴AC=BC=2，
∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題．需要掌握等邊三角形的“三線合一”的性質(zhì)，三角形的外接圓圓心為三角形的垂心，點到直線的距離垂線段最短以及解直角三角形等知識點．難度不大，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．