Question

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度作直線運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿射線CD運(yùn)動(dòng)，連結(jié)EF、AF、AC，EF分別交AD和AC于點(diǎn)O、H．
（1）求證：EO=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EF=AC，在備用圖1中畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∠FAD=∠CAD，在備用圖2中畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由，此時(shí)設(shè)四邊形CDOH的面積為S₁，四邊形ABCF的面積為S₂，請(qǐng)直接寫(xiě)出S₁：S₂的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由矩形的性質(zhì)就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根據(jù)AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出結(jié)論；
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性質(zhì)就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出結(jié)論；
（3）如圖3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，

∠DAB=∠ADC ∠AOE=∠DOF AE=DF

，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；
（2）點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)．
理由：如圖2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四邊形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=

1

2

FG，
在Rt△ADC和Rt△EGF中，

EF=AC EG=AD

，
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=

1

2

DC，
∴AE=

1

2

AB，
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)；
（3）點(diǎn)E與點(diǎn)B重合
理由：在△ADF和△ADC中

∠FAD=∠CAD AD=AD ∠ADF=∠ADC

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴

AO

BC

=

OH

BH

=

1

2

，
∴S_△AOH：S_△CBH=1：4，S_△OH：S_△ABH=1：2．
設(shè)S_△AOH=a，則S_△ABH=2a，S_△CBH=4a，
∴S_△ABC=6a，S_△ADC=6a，
∴S四邊形ABCF=18a，S四邊形CDOH=5a，
∴S四邊形CDOH：S四邊形ABCF=

5

18

，
即S₁：S₂=

5

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．