Question

5．已知一次函數(shù)y=$-\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
（1）求點A、B的坐標(biāo)和∠BAO的度數(shù)；
（2）點C、D分別是線段OA、AB上一動點，且CD=DA，設(shè)線段OC的長度為x，S_△OCD=y，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)及自變量的取值范圍；
（3）點C、D分別是射線OA、BA上一動點，且CD=DA，當(dāng)△ODB為等腰三角形時求C點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對應(yīng)y與x的值，確定出OA與OB的值，得到A、B兩點的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角函數(shù)求出∠BAO的度數(shù)；
（2）先證明△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=CD=AC=3-x．作DM⊥x軸于點M，在Rt△ADM中利用正弦函數(shù)的定義求出DM=AD•sin∠DAM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），然后根據(jù)S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•DM即可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）在Rt△OAB中，求出AB=2OA=6．當(dāng)△ODB為等腰三角形時，分三種情況進(jìn)行討論：①BD=BO=3$\sqrt{3}$；②OD=OB=3$\sqrt{3}$；③DO=DB．

解答 解：（1）對于一次函數(shù)y=$-\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
令x=0，求得：y=3$\sqrt{3}$；令y=0，求得：x=3，
所以O(shè)A=3，OB=3$\sqrt{3}$，
A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°；

（2）∵OC=x，
∴AC=OA-OC=3-x．
∵CD=DA，∠BAO=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD=AC=3-x．
如右圖，作DM⊥x軸于點M，則DM=AD•sin∠DAM=（3-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），
∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•DM，
∴y=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x（0＜x＜3）；

（3）在Rt△OAB中，OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠BAO=60°，
則AB=2OA=6．
當(dāng)△ODB為等腰三角形時，分三種情況進(jìn)行討論：
①如圖（3）①，當(dāng)BD=BO=3$\sqrt{3}$時，AD=AB-BD=6-3$\sqrt{3}$，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD=6-3$\sqrt{3}$，
∴OC=OA-AC=3-（6-3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$-3，
∴C點坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$-3，0）；
②如圖（3）②，當(dāng)OD=OB=3$\sqrt{3}$時，∠ODB=∠OBD=30°，
∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°=30°，
∴∠ODB=∠AOD=30°，
∴OA=AD=3，
∵CD=DA，∠CAD=∠BAO=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD=3，
∴OC=OA+AC=3+3=6，
∴C點坐標(biāo)為（6，0）；
③如圖（3）③，當(dāng)DO=DB時，D在OB的垂直平分線上，
則D為AB的中點，AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD=3，
∴C與原點重合，
∴C點坐標(biāo)為（0，0）；
綜上所述，所求C點坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$-3，0）或（6，0）或（0，0）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．