Question

17．如圖，已知△ACB與△CEF均為等腰直角三角形，∠ACB=∠CEF=90°，點(diǎn)E在AB上，CF與AB交于點(diǎn)G．
（1）求證：△ACG∽△CEG；
（2）設(shè)△ACB的面積為S，求證：AG•BE=2S．

Answer 1

分析 （1）所求的兩個(gè)三角形中，∠A、∠B同為45°，∠BCE、∠2均為45°+∠ECF，由此可得兩組對(duì)應(yīng)角相等，即可證得所求的三角形相似．
（2）利用（1）題相似三角形所得比例線段即可證得此題的結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1，
∴∠BCE=∠2
∵∠A=∠B，∠BCE=∠2，
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC，
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$，即AC•BC=BE•AF，
∴△ABC的面積：S=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$BE•AF，
∴AF•BE=2S．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．