Question

老師布置了一道思考題：
如圖，點M，N分別在等邊三角形ABCD的BC、AC邊上，且BM=CN，AM與BN交于點Q，求證：∠BQM=60°．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的M、N分別移動到BC、CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
請你作出判斷，在下列橫線上填“是”或“否”：①

 

；②

 

；請對①②的判斷，選擇一個給出證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證△ABM≌△BCN，可得∠CBN=∠BAM，即可求得∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①根據(jù)題干中給出條件可得∠CBN=∠BAM，即可證明△ABM≌△BCN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
②畫出圖形，易證CM=AN，和∠BAN=∠ACM=120°，即可證明△BAN≌△ACM，可得∠CAM=∠ABN，即可解題．

解答：證明：（1）∵在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN=60° BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN，（SAS）
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠CBN=∠BAM，
∵在△ABM和△BCN中，

∠BAM=∠CBN AB=BC ∠ABM=∠C=60°

，
∴△ABM≌△BCN，（ASA）
∴BM=CN，故答案為是；
②畫出圖形，

∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵BM=CN，BC=AC
∴BM-BC=CN-AC，即CM=AN，
∵在△BAN和△ACM中，

BA=AC ∠BAN=∠ACM=120° AN=CM

，
∴△BAN≌△ACM，（SAS）
∴∠CAM=∠ABN，
∵∠ABN+∠ANB=60°，∠CAM=∠NAQ，
∴∠BQM=∠ANB+∠NAQ=60°．故答案為是．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAN≌△ACM是解題的關(guān)鍵．