Question

12．如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．點(diǎn)P由C出發(fā)沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤2.5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥CD；
（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm²），求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）在上述運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形ABFPE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意推出AP的長度，然后推出△APE∽△ACD，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，即可推出t的值，推出點(diǎn)P、E分別為AC、AD的中點(diǎn)，即可推出EF的長度；
（2）作PG⊥EF于G，就可以而出EG=3，由AB∥EF就可以得出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EQ}{CD}$，就可以表示出EQ，近而表示出GQ和PQ，在Rt△PGQ中由勾股定理就可以表示出PG，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出y與t的關(guān)系式．
（3）如圖2，過C作CG⊥AB于G，由勾股定理得到CG=4，根據(jù)S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC，列方程即可得到結(jié)論；
（4）由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面積相等，因此五邊形的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，所以五邊形的面積是個(gè)定值；

解答 解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=2.5，
∴當(dāng)t=2.5時(shí)，PE∥CD；

（2）如圖1，作PG⊥EF于G，
∴EG=$\frac{1}{2}$EF．
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EQ}{CD}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{EQ}{6}$，
∴EQ=$\frac{6}{5}$t，
∴GQ=3-$\frac{6}{5}$t．
∵CP=AQ=t，
∴PQ=5-2t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理，得
PG=$\sqrt{（5-2t）^{2}-（3-\frac{6}{5}t）^{2}}$
=4-$\frac{8}{5}$t．
∵S_△PQE=$\frac{1}{2}$EQ•PG，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$t×（4-$\frac{8}{5}$t），
=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t（0＜t＜2.5）．
∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t（0＜t＜2.5）；

（3）如圖2，過C作CG⊥AB于G，
在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，
∴BC=AD=AC=5，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CG=4，
∵S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC，
∴-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t=$\frac{2}{25}$×$\frac{1}{2}×6×4$，
∴t=2，或t=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)t=2或$\frac{1}{2}$時(shí)，S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC；

（4）是定值，為12．
理由：由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC；
過C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，則CG=4；
∴S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用相似表示出EQ的值和運(yùn)用勾股定理表示PG的值是解答本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．