Question

2．如圖，四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒．
（1）若折疊后長方體底面正方形的面積為1250cm²，求長方體包裝盒的高；
（2）設剪掉的等腰直角三角形的直角邊長為x（cm），長方體的側面積為S（cm²），求S與x的函數關系式，并指出關系式中a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得出NP的長度，再利用正方形性質表示出底面正方形面積進而得出答案即可；
（2）表示出長方體的側面積進而得出二次函數的解析式．

解答 解：（1）設剪掉陰影部分的每個等腰直角三角形的腰長為xcm，則NP=$\sqrt{2}$xcm，
DP=$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，QM=PW=$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，
由題意得：（$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$×$\sqrt{2}$）²=1250，
解得，x₁=5$\sqrt{2}$，x₂=55$\sqrt{2}$（超過60，故不符合題意舍去），
答：長方體包裝盒的高為5$\sqrt{2}$cm．
另法：∵由已知得底面正方形的邊長為$\sqrt{1250}$=25$\sqrt{2}$，
∴AN=25$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=25．
∴PN=60-25×2=10．
∴PQ=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=5$\sqrt{2}$（cm）．
答：長方體包裝盒的高為5$\sqrt{2}$cm．

（2）由題意得，S=4×S_{四邊形QPWM}=4×PW•QP，
∵PW=$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，QP=x，
∴S=4×$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$×x=-4x²+120$\sqrt{2}$x，
則a=-4，b=120$\sqrt{2}$，c=0．

點評 本題考查了二次函數的實際應用，發(fā)現底邊長與正方形ABCD邊長的關系是解題關鍵．