Question

如圖，在△ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥GF，交AC的延長線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EG．
（1）說明BG與CF相等的理由．
（2）說明∠BGD與∠DGE相等的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出BD=DC，∠GBD=∠DCF，證出△BDG≌△CDF即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出EF=EG，求出∠DFE=∠DGE，∠DFE=∠BGD，即可得出答案．

解答：解 （1）∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=DC（中點(diǎn)的定義），
∵BG∥FC（已知），
∴∠GBD=∠DCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
在△BDG和△CDF中，

∠BDG=∠CDF(對(duì)頂角相等) BD=DC(已證) ∠GBD=∠DCF(已證)

，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）∵DE為線段GF的中垂線（中垂線定義），
∴EF=EG（中垂線性質(zhì)），
∴∠DFE=∠DGE（等邊對(duì)等角），）
∵∠DFE=∠BGD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），
∴∠BGD=∠DGE（等量代換）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．