Question

3．已知x=$\frac{2ab}{^{2}+1}$（a＞0，b＞0），求證：代數(shù)式$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$，當(dāng)b＞1時，值是b；當(dāng)b＜1時，值是$\frac{1}$；當(dāng)b=1時，值是1．

Answer 1

分析 先對題目中代數(shù)式化簡，然后討論b的取值范圍，從而可以證明結(jié)論．

解答 證明：∵$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$
=$\frac{（\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}）^{2}}{a+x-a+x}$
=$\frac{a+x+2\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}+a-x}{2x}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，
∵x=$\frac{2ab}{^{2}+1}$，
∴$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-\frac{4{a}^{2}^{2}}{{（b}^{2}+1）^{2}}}}{\frac{2ab}{^{2}+1}}$
=$\frac{a+\frac{\sqrt{{a}^{2}（^{2}+1）^{2}-4{a}^{2}^{2}}}{^{2}+1}}{\frac{2ab}{^{2}+1}}$
=$\frac{a（^{2}+1）+a\sqrt{（^{2}+1）^{2}-4^{2}}}{2ab}$
=$\frac{^{2}+1+\sqrt{（^{2}-1）^{2}}}{2b}$，
∴當(dāng)b＞1時，$\frac{^{2}+1+\sqrt{（^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{^{2}+1+^{2}-1}{2b}=b$，
當(dāng)b＜1時，$\frac{^{2}+1+\sqrt{（^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{^{2}+1+1-^{2}}{2b}=\frac{1}$，
當(dāng)b=1時，$\frac{^{2}+1+\sqrt{（^{2}-1）^{2}}}{2b}$=$\frac{{1}^{2}+1+\sqrt{（{1}^{2}-1）^{2}}}{2}$=$\frac{2}{2}=1$．

點評 本題考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．