Question

9．如圖，△ABC中，AE平分∠BAC，CD⊥AE于D，BE⊥AE，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連結(jié)DF、EF，若AB=10，AC=6，∠DFE=135°，則△DEF的面積是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CD交AB于M，延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)N，作EH⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于H，先證明AN=AC，AB=AN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM=DC，EB=EN，根據(jù)三角形中位線定理求得DF=FE=2，在RT△EHF中求出HE即可解決問(wèn)題．

解答 解：延長(zhǎng)CD交AB于M，延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)N，作EH⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于H．
∵AD⊥CM，
∴∠ADC=∠ADM=90°，
∵∠DAM=∠DAC，∠DAM+∠AMC=90°，∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠AMC=∠ACM，
∴AM=AC=6，同理可以證明：AB=AN=10，
∴BM=CN=4，
∵AD⊥CM，AM=AC，
∴DM=DC，同理BE=EN，
∵BF=CF，
∴FD=$\frac{1}{2}$BM=2，EF=$\frac{1}{2}$CN=2，
∵∠DFE=135°，
∴∠EFH=45°，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•HE=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造等腰三角形，利用三角形中位線定理解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．