Question

4．已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）如圖1，P為射線AB上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，證明：當(dāng)AP=3時(shí)，平行四邊形PCQD
是菱形；
（2）如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
①證明：∠ADP=∠HCQ；
②證明：△APD≌△HQC；
③在點(diǎn)P變化的過(guò)程中，對(duì)角線PQ的長(zhǎng)存在最小值，請(qǐng)直接寫出PQ長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)勾股定理，判斷出PD=PC，然后根據(jù)四邊形PCQD是平行四邊形，可得當(dāng)AP=3時(shí)，平行四邊形PCQD是菱形，據(jù)此判斷即可．
（2）①首先根據(jù)AD∥BC，可得∠ADC=∠DCH；然后根據(jù)PD∥CQ，可得∠PDC=∠DCQ，據(jù)此判斷出∠ADP=∠HCQ即可．
②首先根據(jù)四邊形PCQD是平行四邊形，可得PD=QC；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APD≌△HQC即可．
③首先判斷出當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)角線PQ的長(zhǎng)最小，然后求出CH的最小值，即可求出PQ長(zhǎng)的最小值是多少．

解答 （1）證明：如圖1，
，
∵AD=1，AB=2，BC=3，AP=3，
∴PB=AP-AB=3-2=1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AD⊥AB，
∴PD²=AD²+AP²=1²+3²=10，
∴PC²=PB²+BC²=1²+3²=10，
∴PD=PC，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
∴當(dāng)AP=3時(shí)，平行四邊形PCQD是菱形．

（2）①證明：如圖2，
，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠HCQ．

②證明：如圖3，
，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
∴PD=QC，
在△APD和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠HCQ}\\{∠PAD=∠QHC=90°}\\{PD=QC}\end{array}\right.$（AAS）
∴△APD≌△HQC．

③解：如圖4，
，
當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)角線PQ的長(zhǎng)最小，
∵AD=1，AP=2÷2=1，
∴PD²=1²+1²=2，
又∵QH=PB=2÷2=1，
∴CH=$\sqrt{{CQ}^{2}{-QH}^{2}}=\sqrt{{PD}^{2}{-QH}^{2}}$=$\sqrt{2-1}=1$，
∴PQ=BC+CH=3+1=4，
即PQ長(zhǎng)的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（2）此題還考查了全等三角形的判定，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
（3）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．