Question

15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1cm和2cm的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；
（2）當點Q在邊BC上運動時，直線PQ能否把原三角形的周長分成相等的兩部分？若能，請求出運動時間；若不能，請說明理由．
（3）在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問：點P運動多少時間時，△PEC與QFC全等？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出CP和CQ，根據勾股定理求出即可；
（2）求出斜邊AB，求出周長，即可得出方程，求出方程的解即可；
（3）此題分兩種情況：①PC=QC時，△PEC與△QFC全等，②點P與點Q重合，△PEC與△QFC全等，然后計算出t的值即可．

解答 解：（1）如圖1，
AP=2×1=2（cm），BQ=2×2=4（cm），
CP=6cm-2cm=4cm，CQ=8cm-4cm=4cm
PQ=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$（cm）；

（2）直線PQ能把原三角形的周長分成相等的兩部分，設此時時間為t秒，
理由是：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
即△ABC的周長為6cm+8cm+10cm，
∵PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴6-t+8-2t=12，
解得：t=$\frac{2}{3}$，
即當t=$\frac{2}{3}$秒時，直線PQ把原三角形的周長分成相等的兩部分；

（3）如圖2，
∵△PEC與△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6-t=8-2t．
解得：t=2；
如圖3，
∵點P與點Q重合，
∴△PEC與△QFC全等，
∴6-t=2t-8．
解得：t=$\frac{14}{3}$．
綜上所述：點P運動時間為2秒或$\frac{14}{3}$秒時，△PEC與△QFC全等．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理的應用，能正確根據定理進行計算是解此題的關鍵，注意：判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．