Question

5．如圖1，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，∠M=∠D，
（1）判斷BC與MD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AE=8，BE=2，求線段CD的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若MD恰好經(jīng)過(guò)圓心O，求∠D的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）BC與MD平行，理由為：在圓O中，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；
（2）連接OD，如圖1所示，由AE+BE求出AB的長(zhǎng)，即為圓的直徑，求出半徑OD的長(zhǎng)，由AB垂直于CD，利用垂徑定理及勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)CD=2ED求出CD的長(zhǎng)即可；
（3）連接MC，如圖2所示，由AB為圓的直徑，AB垂直于CD，利用垂徑定理得到B為$\widehat{CD}$中點(diǎn)，再由已知角相等，利用圓周角定理得到∠CMB=∠BMD=∠D，由MD為直徑，得到MC垂直于CD，利用直角三角形的性質(zhì)確定出∠D的度數(shù)．

解答 解：（1）BC∥MD，理由為：
證明：∵在⊙O中，∠CBM=∠D，且∠M=∠D，
∴∠M=∠CBM，
∴BC∥MD；
（2）連結(jié)OD，如圖1所示，
∵AE=8，BE=2，
∴直徑AB=10，
∴OD=5，
∴OE=OB-BE=5-2=3，
又∵CD⊥AB，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
又∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CD=2DE=8；
（3）連結(jié)MC，如圖2所示，
∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴$\widehat{CB}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CMB=∠BMD=∠D，
又∵M(jìn)D過(guò)圓心，
∴∠MCD=90°，
∴∠D+∠CMB+∠BMD=90°，
∴∠D=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：平行線的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．