Question

2．已知關(guān)于x的方程mx²-（m-1）x-1=0
（1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有實根；
（2）若拋物線y=mx²-（m-1）x-1與x軸有兩個公共點A、B，且AB=3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況討論．①當(dāng)m=0時，方程為x-1=0求出方程的解x=1；②當(dāng)m≠0，則得到一個一元二次方程，求出方程的根的判別式△=（m+1）²得出不論m為何實數(shù)，△≥0成立，即可得到答案；
（2）設(shè)x₁，x₂為拋物線y=mx²-（m-1）x-1與x軸交點的橫坐標(biāo)．求出方程mx²-（m-1）x-1=0的解x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，根據(jù)題意得出|1-x₂|=3，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：分兩種情況討論．
①當(dāng)m=0時，方程為x-1=0，∴x=1，方程有實數(shù)根；
②當(dāng)m≠0，則一元二次方程的根的判別式△=[-（m-1）]²-4m（-1）=m²-2m+1+4m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不論m為何實數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實數(shù)根；
綜合①、②，可知m取任何實數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0方程總有實根；

（2）解：設(shè)x₁，x₂為拋物線y=mx²-（m-1）x-1與x軸交點的橫坐標(biāo)．
令y=0，則mx²-（m-1）x-1=0
由求根公式得，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∴拋物線y=mx²-（m-1）x-1不論m為任何不為0的實數(shù)時恒過定點（1，0）．
∵|x₁-x₂|=3，
∴|1-x₂|=3，
∴x₂=-2或x₂=4，∴m=$\frac{1}{2}$或m=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點，解二元一次方程組，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．