Question

2．問題探究：
1．新知學(xué)習(xí)
若把將一個平面圖形分為面積相等的兩個部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．
2．解決問題

已知等邊三角形ABC的邊長為2．
（1）如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長；
（2）如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長；
（3）如圖三，已知D為BC的中點，連接AD，M為AB上的一點（0＜AM＜1），E是DC上的一點，連接ME，ME與AD交于點O，且S_△MOA=S_△DOE．
①求證：ME是△ABC的面徑；
②連接AE，求證：MD∥AE；
（4）請你猜測等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明，利用直角三角形30°性質(zhì)，即可求出AD．
（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)面積比等于相似比的平方，即可解決問題．
（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先證明MN=DF，推出四邊形MNFD是平行四邊形即可．
（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性質(zhì)證明ME≥$\sqrt{2}$即可解決問題．

解答 解：（1）如圖一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴線段AD是△ABC的面徑．
∵∠B=60°，
∴sin60°=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{AD}{2}$，
∴AD=$\sqrt{3}$．
（2）如圖二中，

∵ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，
∴△AME∽△ABC，$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{ME}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ME=$\sqrt{2}$．
（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

①∵S_△MOA=S_△DOE，
∴S_△ABD=S_△BME，
∵BD=DC，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△EMB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴ME是△ABC的面徑；

②∵S_△MOA=S_△DOE，
∴S_△AEM=S_△AED，
∴$\frac{1}{2}$•AE•MN=$\frac{1}{2}$•AE•DF，
∴MN=DF，
∵MN∥DF，
∴四邊形MNFD是平行四邊形，
∴DM∥AE．
（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BD}{BE}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{y}$，
∴xy=2，
在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，
∴BF=$\frac{1}{2}$x，MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴ME=$\sqrt{M{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}+（y-\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}$≥$\sqrt{2xy-xy}$，
∴ME≥$\sqrt{2}$，
∵ME是等邊三角形面徑，AD也是等邊三角形面積徑，易知AD=$\sqrt{3}$，
∴等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍$\sqrt{2}$≤l≤$\sqrt{3}$．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會條件常用輔助線，記住不等式的性質(zhì)x²+y²≥2xy，屬于中考壓軸題．