Question

15．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一條直線上．
填空：線段AD，BE之間的關(guān)系為AD=BE，AD⊥BE．
（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，請(qǐng)判斷AD，BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）解決問(wèn)題
如圖3，線段PA=3，點(diǎn)B是線段PA外一點(diǎn)，PB=5，連接AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，隨著點(diǎn)B的位置的變化，直接寫(xiě)出PC的范圍．

Answer 1

分析 （1）可先證明△ACE≌△BCD，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得AE=BD；延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，由（1）可得到∠DBC=∠EAD，再結(jié)合條件可得到∠ADF+∠FAD=90°，可得到AE⊥BD；
（2）證明方法類似（1）；
（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，可得PC=BE，求出BE的范圍即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如圖1中，

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案為AD=BE，AD⊥BE．

（2）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE=5-3$\sqrt{2}$，
圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE=5+3$\sqrt{2}$，
∴5-3$\sqrt{2}$≤BE≤5+3$\sqrt{2}$，
即5-3$\sqrt{2}$≤PC≤5+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．