Question

12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿A邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)）．
（1）如果P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，而且動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，而且動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），是否存在一個(gè)時(shí)刻，PQ同時(shí)平分△ABC的周長(zhǎng)與面積？若存在求出這個(gè)時(shí)刻的t 值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一，根據(jù)題意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，由，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；
（2）在Rt△PQB中，根據(jù)勾股定理列方程即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)PQ平分△ABC面積時(shí)，計(jì)算出這時(shí)的t=5-$\sqrt{13}$，同時(shí)計(jì)算這時(shí)PQ所截△ABC的周長(zhǎng)是否平分；②當(dāng)PQ平分△ABC周長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算出這時(shí)的t=$\frac{2}{3}$，此時(shí)△PBQ的面積是否為$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一，
由題意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合題意，
答：經(jīng)過(guò)2或4秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一；
（2）在Rt△PQB中，PQ²=BQ²+PB²，
∴6²=（2t）²+（6-t）²，
解得：t₁=0（舍），t₂=$\frac{12}{5}$，
答：$\frac{12}{5}$秒鐘后，P、Q相距6厘米；
（3）由題意得：PB=6-t，BQ=8-2t，
分兩種情況：
①當(dāng)PQ平分△ABC面積時(shí)，
S_△PBQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
$\frac{1}{2}$（6-t）（8-2t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：t₁=5+$\sqrt{13}$，t₂=5-$\sqrt{13}$，
∵Q從C到B，一共需要8÷2=4秒，5+$\sqrt{13}$＞4，
∴t₁=5+$\sqrt{13}$不符合題意，舍去，
當(dāng)t₂=5-$\sqrt{13}$時(shí)，AP=5-$\sqrt{13}$，BP=6-（5-$\sqrt{13}$）=1+$\sqrt{13}$，BQ=8-2（5-$\sqrt{13}$）=2$\sqrt{13}$-2，CQ=2（5-$\sqrt{13}$）=10-2$\sqrt{13}$，
PQ將△ABC的周長(zhǎng)分為兩部分：
一部分為：AC+AP+CQ=10+5-$\sqrt{13}$+10-2$\sqrt{13}$=25-3$\sqrt{13}$，
另一部分：PB+BQ=1+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{13}$-2=3$\sqrt{13}$-1，
25-3$\sqrt{13}$≠3$\sqrt{13}$-1，
②當(dāng)PQ平分△ABC周長(zhǎng)時(shí)，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6-t+8-2t，
t=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)t=$\frac{2}{3}$時(shí)，PB=6-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
BQ=8-2×$\frac{2}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{160}{3}$≠12，
綜上所述，不存在這樣一個(gè)時(shí)刻，PQ同時(shí)平分△ABC的周長(zhǎng)與面積．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，在三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的：路線、路程、速度、時(shí)間，表示出時(shí)間為t時(shí)的路程是哪一條線段的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件列等式或方程，解出即可．