Question

9．如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，作半徑OB并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得BC=OB，作CD⊥直線l于點(diǎn)D，連接BD得∠CBD=75°，則∠OCD=70度．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)D，連接AB，利用BC=OB、CD⊥AD及AD為⊙O切線可證得△BAD為等腰三角形，此時(shí)可利用∠BAD=∠BDA找到∠C與∠O的關(guān)系，從而可以求出∠C的度數(shù)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)D，連接AB，

∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AD，
∵CD⊥AD，
∴OA∥BE∥CD，
∴∠O+∠C=180°，
∵OB=BC，
∴AE=ED，
∴BA=BD，
∴∠BAE=∠BDE，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠O=2∠BAE，
∴∠O=2∠BDE，
∵∠CBD=75°，CD⊥AD，
∴∠BDC=105°-∠C，∠BDE=90°-（105°-∠C）=∠C-15°，
∴∠O=2（∠C-15°）=2∠C-30°，
∴2∠C-30°+∠C=180°，解得∠C=70°．
故答案為：70．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、中位線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造等腰三角形，將所求角之間的關(guān)系建立起來(lái)．