Question

15．已知：∠ACB=90°，CO=BO，等邊△AOE，OF=4，DE=3，求OD的長．

Answer 1

分析 先由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，先判斷出點C，E在⊙O上，得出∠ACE=30°，再判斷出△OEG≌△OCF，得出∠OGE=∠OFC，進(jìn)而判斷出DE=DG即可．

解答 解：如圖，


∵△AOE是等邊三角形，
∴OA=OE，∠AOE=60°，
以AB為直徑作⊙O，在OC上截取OG=OF，連接FG，EG，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠OAC+∠B=90°=∠OCB+∠OCA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OC=OA=OE，
∴點C，E在⊙O上，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠AOE=30°，
在△OEG和△OCF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠EOG=∠COF}\\{OF=OG}\end{array}\right.$
∴△OEG≌△OCF，
∴∠OGE=∠OFC，
∴∠EGD=∠EFC=∠AEF+∠EAF=60°+∠EAF，
∵∠OEC=∠OCE，
∴∠CEG=∠DEC+∠CDG=∠EAF+∠ACE+∠ACE=60°+∠EAF，
∴∠EGD=∠DEG，
∴DE=DG，
∴OD=OG+DG=OF+DE=7

點評 此題是四點共圓，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△OEG≌△OCF，難點出作出輔助線．