Question

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P為圓上一點，點C為AB延長線上一點，PA=PC，∠C=30°．
（1）求證：CP是⊙O的切線．
（2）若⊙O的直徑為8，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OP，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；
（2）證明△OBP是等邊三角形，陰影部分的面積=扇形OBP的面積-△OBP的面積，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OP，如圖所示：
∵PA=PC，∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠APC=120°，
∵OA=OP，
∴∠OPA=∠A=30°，
∴∠OPC=120°-30°=90°，
即OP⊥CP，
∴CP是⊙O的切線．
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠OBP=90°-∠A=60°，
∵OP=OB=4，
∴△OBP是等邊三角形，
∴∠POC=60°，
∵OP⊥CP，
∴∠C=30°，
∴OC=2OP=2OB=8，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=扇形OBP的面積-△OBP的面積=$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}π$-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積公式等知識；熟練掌握切線的判定．證明三角形是等邊三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．