Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，4），B（4，0），點(diǎn)D為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接OE交AB于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OB中點(diǎn)處時(shí)，求證：AP=3BP；
（3）已知點(diǎn)F（0，4），當(dāng)點(diǎn)D在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OA、FD，在射線BA上取一點(diǎn)R，連接DR、FR，使得∠DFR=∠AOB．試探究AR、DR、OD三者的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件易證△APE≌△BPO，可得PB=PA=2，于是可得P（4，2）．
（2）由條件易證△APE≌△BPO，可得AQ=DB，EQ=AB，再證△EPQ≌△OPB，可得PQ=PB，易得AP=3，BP=1．
（3）①由條件易證△EFA≌△DFO，可得EF=ED，AE=OD，再證△EFR≌△DFR，可得DR=OD+AR；
   ②同理可證△EFA≌△DFO，△EFR≌△DFR，所以O(shè)D=AR+DR．

解答：解：（1）
由題意知E（8，4）
∴AE=B0=4，
在△APE和△BPO中，

∠A=∠PBO ∠APE=∠BPO AE=BO

，
∴△APE≌△BPO（AAS），
∴AP=BP，
∵A（4，4），B（4，0）
∴AB=4，
∴AP=BP=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；
（2）過點(diǎn)E作EQ⊥AB，垂足為Q，

∴∠EQA=∠ABD=90°，
∵∠ADB+∠DAB=90°，∠DAB+∠EAQ=90°，
∴∠ADB=∠EAQ，
在△AQE和△DBA中，

∠ADB=∠EAQ ∠EQA=∠ABD AE=AD

，
∴△AQE≌△DBA（AAS），
∴AQ=DB，EQ=AB，
∵AB=OB=4，D是OB的中點(diǎn)，
∴AQ=DB=OD=BQ=2，EQ=AB=OB=4，
在△EPQ和△OPB中，

∠EQP=∠OBP ∠EPQ=∠OPB EQ=OB

，
∴△EPQ≌△OPB（AAS），
∴PQ=PB=1，
∴AP=AQ+PQ=3，
∴AP=3BP；
（3）因?yàn)椤螼FB=45°，當(dāng)點(diǎn)D在X軸負(fù)半軸且∠DFR=45°時(shí)，點(diǎn)R不可能在射線BA上；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)AR=DR，OD=0；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)R與點(diǎn)A重合，此時(shí)AR=0，DR=OD．
①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)O與點(diǎn)B之間時(shí)，過點(diǎn)F作FE⊥FD交BA的延長線于點(diǎn)E，如圖（1），

由題意可知OF=AF=4，∠FAE=∠FOD=90°，
∵∠EFA+∠AFD=90°，∠AFD+∠DFO=90°，
∴∠EFA=∠DFO，
在△EFA和△DFO中，

∠EFA=∠DFO AF=OF ∠FAE=∠FOD

，
∴△EFA≌△DFO（ASA），
∴EF=ED，AE=OD，
∵∠DFR=45°，∠DFR+∠EFR=90°，
∴∠EFR=∠DFR=45°，
在△EFR和△DFR中，

EF=ED ∠EFR=∠DFR FR=FR

，
∴△EFR≌△DFR（SAS），
∴ER=DR，
∵ER=AE+AR=OD+AR，
∴DR=OD+AR；
②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右邊時(shí)，如圖（2），

同理可證△EFA≌△DFO，△EFR≌△DFR，
可得AE=OD，ER=DR，
∵AE=AR+ER=AR+DR，
∴OD=AR+DR，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中找出全等三角形并證明是解題的關(guān)鍵．