Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點E，連接DE并延長，交BC的延長線于點F．
（1）求證：△BDF是等邊三角形；
（2）連接AF、DC，若BC=3，寫出求四邊形AFCD面積的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OE，如圖，利用切線的性質得∠OEA=90°，則∠AOE=∠B=60°，于是可判斷△ODE為等邊三角形，所以∠ODE=60°，所以△BDF是等邊三角形；
（2）如圖，作DH⊥AC于點H，如圖，利用∠BAC=30°，BC=3可求AB，AC的長；再由∠OAE=30°可知AO=2OE，則可計算AD，DB，DH的長；從而得到由（1）得CF的長；然后計算四邊形AFCD的面積．

解答 （1）證明：連接OE，如圖，
∵AC切⊙O于點E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOE=60°，∠B=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE為等邊三角形，
∴∠ODE=60°，
∴△BDF是等邊三角形；
（2）解：如圖，作DH⊥AC于點H，如圖，
①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，可求AB，AC的長；
②由∠AEO=90°，∠OAE=30°，可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的長；
③由（1）可知BF=BD，可求CF的長；
④由AC，DH，CF的長可求四邊形AFCD的面積．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了等邊三角形的判定與性質．