Question

16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（3，a）（其中a＞4），射線OA與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象交于點P，點B、C分別在函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，且AB∥x軸，AC∥y 軸；
（1）當點P橫坐標為2，求直線AO的表達式；
（2）連接CO，當AC=CO時，求點A坐標；
（3）連接BP、CP，試猜想：$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=2代入反比例解析式求出y的值，確定出P坐標，將P坐標代入直線AO解析式y(tǒng)=kx，求出k的值，即可確定出解析式；
（2）連接CO，如圖1所示，由AC與y軸平行，得到A與C橫坐標相同，確定出C坐標，求出OC的長，即為AC的長，列出方程，求出解即可確定出A坐標；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不變，理由為：如圖2，過C點向y軸作垂線交OA于點D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，根據(jù)A坐標表示出直線OC解析式，進而表示出D坐標，以及B坐標，得到四邊形ABCD為矩形，進而得到BE=CF，利用同底等高三角形面積相等即可求出所求之比．

解答 解：（1）當x=2時，y=$\frac{12}{2}$=6，
∴P（2，6），
設(shè)直線AO的解析式為y=kx，
代入P（2，6）得k=3，
則直線AO的解析式為y=3x；
（2）如圖1，連接OC，

由AC∥y軸，得C點橫坐標為3．
當x=3時，y=4，
∴C（3，4），即OC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵AC=OC，
∴a-4=5，即a=9，
∴A（3，9）；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不變，理由為：
如圖2，過C點向y軸作垂線交OA于點D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，

∵直線OA的解析式為y=$\frac{a}{3}$x，
∴D點的坐標為（$\frac{12}{a}$，4），
∵AB∥x軸，
∴點B的坐標為（$\frac{12}{a}$，a）．
∴CD∥x軸，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴B、C到對角線AD的距離相等，即BE=CF，
∴△ABP與△ACP是同底等高的兩個三角形，它們面積相等，
則$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{ACP}}$=1．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積求法，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及運算法則是解本題的關(guān)鍵．