Question

8．如圖，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)城③④位于直線AB上方），P是位于以上四個(gè)區(qū)域上點(diǎn)，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF的關(guān)系（不要求證明）．

Answer 1

分析 先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，再分點(diǎn)P分別位于①、②、③、④四個(gè)象限分別求解即可．

解答 解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在①區(qū)域時(shí)，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，如圖2所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PEH++PEB=180°，
∴∠PEH=180°-∠PEB．
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；
如圖4所示，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PHB是△PEH的外角，
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．