Question

3．如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，已知：DE∥AC，DF∥BC．
（1）判斷四邊形DECF的形狀并說明理由；
（2）若BD=BC，請(qǐng)你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠ABC的平分線（寫出作法并說明理由）；
（3）當(dāng)AC=6cm，BC=4cm，∠ACB=60°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可解答；
（2）連接CD與EF相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，O為CD的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），連接BO，BO即為∠ABC的角平分線；
（3）根據(jù)△ADF∽△ABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出高h(yuǎn)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)h的值．

解答 解：（1）∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
（2）如圖1，

連接CD與EF相交于點(diǎn)O，連接BO，BO即為∠ABC的角平分線，
理由：∵四邊形DECF是平行四邊形，
∴O是DC中點(diǎn)，
又∵DB=CB，
∴BO就是∠ABC的平分線；
（3）作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，如圖2，

∵∠ACB=60°，AC=6cm
∴AG=AC•sin60°=$6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=3$\sqrt{3}$-h，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{3\sqrt{3}-h}{3\sqrt{3}}$，
∴x=$4（1-\frac{h}{3\sqrt{3}}）$，
∵S=xh=4h-$\frac{4}{3\sqrt{3}}{h}^{2}$，
∴h=-$\frac{2a}=-\frac{4}{2（-\frac{4}{3\sqrt{3}}）}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AH=3$\sqrt{3}$，
∴AF=FC，
∴在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論．