Question

2．如圖，點(diǎn)A（1，4），B（-4，n）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，直線AB分別交x軸、y軸于C，D，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，連接AF，BE交于點(diǎn)G．
（1）求k的值及直線AB的解析式；
（2）判斷四邊形ADEF的形狀，并寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出k，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，
解得k=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（-4，-1），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+3；
（2）直線AB的解析式為y=x+3與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），
∴OD=3，又OF=1，
∴DF=4，又AE=4，
∴AE=DF，
∵AE∥DF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、平行四邊形的判定，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．