Question

8．已知，在△ABC中，AB=AC，AD、BE分別是△ABC的角平分線，H為AC的中點(diǎn)，連接HD，交BE于G，BF平分∠MBC，交HD的延長線于F．
（1）求證：DG=DB；
（2）請判斷四邊形BGCF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）若要證明DG=DB可證∠BGD=∠GBD，根據(jù)題意知DH是△ABC中位線即DH∥AB得∠BGD=∠GBA，根據(jù)BE平分∠ABC得∠GBA=∠GBD，從而得證；
（2）與（1）同理可證DB=DF，又DB=DG可知DG=DF，由BE平分∠ABC、BF平分∠MBC可知∠FBG=90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角且對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形可得．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=BC，
∵H為AC的中點(diǎn)，
∴DH∥AB，且DH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BGD=∠GBA，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠GBA=∠GBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BGD=∠GBD，
∴DG=DB；
（2）四邊形BGCF是矩形，
由（1）知，F(xiàn)H∥AB，
∴∠MBF=∠F，
又∵BF平分∠MBC，
∴∠MBF=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠MBC
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
又∵DB=DG，
∴DG=DF，
∵BD=BC，∠GBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DBF=$\frac{1}{2}$∠MBC
∴BC、FG互相平分，且∠FBG=∠FBD+∠GBD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠MBC）=90°，
故四邊形BGCF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的運(yùn)用能力，通過證明兩角相等得到對(duì)應(yīng)的邊相等是解題的關(guān)鍵．