Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的OA，OC兩邊分別在x，y軸上，OA∥BC，BC=15cm，A點坐標(biāo)為（16，0），C點坐標(biāo)為（0，4）．點P，Q分別從C，A同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度由C向B運動，點Q以4cm/s的速度由A向O運動，當(dāng)點Q到達(dá)點O時，點P也停止運動，設(shè)運動時間為t秒（0≤t≤4）．
（1）求當(dāng)t為多少時？四邊形PQAB為平行四邊形；
（2）求當(dāng)t為多少時？PQ所在直線將四邊形OABC分成左右兩部分的面積比為1：2；
（3）直接寫出在（2）的情況下，直線PQ的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形PQAB的對邊相等的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，通過解方程求得t的值；
（2）由題意得到：OC=4cm，OA=16cm．利用梯形的面積公式求得S_梯形OABC=62（cm²），S_{四邊形PQOC}=$\frac{1}{2}（2t+16-4t）×4=32-4t$，結(jié)合限制性條件“PQ所在直線將四邊形OABC分成左右兩部分的面積比為1：2”列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值；
（3）根據(jù)（2）中求得的t的值可以得到點P、Q的坐標(biāo)，則利用待定系數(shù)法來求直線PQ的解析式．

解答 解：（1）ts后，BP=（15-2t）cm，AQ=4t cm．
由BP=AQ，得15-2t=4t，t=2.5（s）．
又∵OA∥BC，
∴當(dāng)t=2.5s時，四邊形PQAB為平行四邊形．

（2）∵點C坐標(biāo)為（0，4），點A坐標(biāo)為（16，0），
∴OC=4cm，OA=16cm．
∴S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$（OA+BC）•OC=$\frac{1}{2}$×（16+15）×4=62（cm²）．
∵t秒后，PC=2tcm，OQ=（16-4t）cm，
∴S_{四邊形PQOC}=$\frac{1}{2}（2t+16-4t）×4=32-4t$，
又∵PQ所在直線將四邊形OABC分成左右兩部分的面積比為1：2，
∴$32-4t=\frac{1}{3}×62$，解得$t=\frac{17}{6}$（s）．
當(dāng)$t=\frac{17}{6}$（s）時，直線PQ將四邊形OABC分成左右兩部分的面積比為1：2．

（3）當(dāng)$t=\frac{17}{6}$s時，P（$\frac{17}{3}$，4），Q（$\frac{14}{3}$，0）．
設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b（k≠0），則
$\left\{\begin{array}{l}{4=\frac{17}{3}k+b}\\{0=\frac{14}{3}k+b}\end{array}\right.$，
解得所以，此時直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為$y=4x-\frac{56}{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，解題時，利用了梯形的面積公式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定定理等知識點，題中運用動點的運動速度與運動時間求出相關(guān)線段的長是解題的關(guān)鍵．