Question

9．已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（-1，0），點C的坐標(biāo)是（0，-3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù)；
（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接將A，C點坐標(biāo)代入拋物線解析式求出即可；
（2）首先求出B點坐標(biāo)，進而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進而利用CO，BO的長求出∠ABC的度數(shù)；
（3）利用∠ACB=∠PAB，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長，進而得出P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點A的坐標(biāo)（-1，0），點C的坐標(biāo)（0，-3）代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）由（1）得：0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，故B點坐標(biāo)為：（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{d=-3}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為：y=x-3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；

（3）過點P作PD⊥x軸于點D，
∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得：BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
由題意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=$\frac{8}{3}$，
∴OD=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
則P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$）．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關(guān)鍵．