Question

19．如圖，拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于C點，與x軸交于A（-2，0）、B兩點，拋物線的對稱軸直線x=1交拋物線于D點，交直線BC于E點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）F為直線BC上方的拋物線上一個動點，是否存在點F，使四邊形ABFC的面積為11？若存在，求出F點坐標；若不存在，說明理由．
（3）直線l∥DE，交BC于P點，交拋物線于Q點，當以D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出P點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱的性質，可得B點坐標，根據待定系數法，可得答案；
（2）根據平行于y的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得FG的長，根據面積可得關于m的方程，根據解方程，可得答案；
（3）根據平行于y的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得QP的長，根據平行四邊形的對邊相等，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A，B關于x=1對稱，得
B（4，0），
將A，B代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）F為直線BC上方的拋物線上一個動點，不存在點F，使四邊形ABFC的面積為11，理由如下：
如圖1，
當x=0時，y=4，即C（0，4）．
AB的長是4-（-2）=6．
BC的解析式為y=-x+4
設F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），G（m，-m+4）．
FG的長是（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m．
S_{四邊形ABFC}=S_△ABC+S_BCF
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$FG•x_B
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²+2m），
由S_{四邊形ABFC}=11，得
$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=11，
化簡，得m²-4m-1=0
解得m=2-$\sqrt{5}$＜0（舍），m=2+$\sqrt{5}$＞4（舍），
F為直線BC上方的拋物線上一個動點，不存在點F，使四邊形ABFC的面積為11；

（3）如圖2
當x=1時，y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=$\frac{9}{2}$，即D（1，$\frac{9}{2}$），
BC的解析式為y=-x+4，
當x=1時y=3，即E（1，3），
DE的長為$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$
設Q（n，-$\frac{1}{2}$n²+n+4），P（n，-n+4）．
PQ的長是（-$\frac{1}{2}$n²+n+4）-（-n+4）=-$\frac{1}{2}$n²+2n．
由DE=PQ，得
-$\frac{1}{2}$n²+2n=$\frac{3}{2}$，
化簡，得
n²-4n+3=0，
解得n₁=1（舍），n₂=3，
-n+4=-3+4=1，
即P（3，1）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是利用軸對稱的性質得出B點坐標；解（2）的關鍵是利用面積的和差得出關于m的方程；解（3）的關鍵是利用平行四邊形的對邊相等得出關于n的方程．