Question

13．已知關于x的方程x²-ax-a-3=0，
（1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；
（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入方程x²-ax-a-3=0得到a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系求出另一根；
（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答．

解答 （1）解：將x=1代入方程x²-ax-a-3=0，
得1-a-a-3=0，解得a=-1；
方程為x²+x-2=0，
設另一根為x₁，則1•x₁=-2，
解答x₁=-2，
即另一個根為-2；

（2）證明：∵△=（-a）²-4（-a-3）
=a²+4a+12
=a²+4a+4+8
=（a+2）²+8＞0，
∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關系．