Question

17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B兩點的坐標分別為（-4，0），（4，0），C（m，0）是線段A B上一點（與 A，B點不重合），拋物線L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）經(jīng)過點A，C，頂點為D，拋物線L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）經(jīng)過點C，B，頂點為E，AD，BE的延長線相交于點F．
（1）若a=-$\frac{1}{2}$，m=-1，求拋物線L₁，L₂的解析式；
（2）若a=-1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在這樣的實數(shù)a（a＜0），無論m取何值，直線AF與BF都不可能互相垂直？若存在，請直接寫出a的兩個不同的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，將A，B，C的坐標代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，易證△ADG～△EBH，根據(jù)相似三角形對應邊比例相等即可解題；
（3）開放性答案，代入法即可解題；

解答 解：（1）將A、C點帶入y=ax²+b₁x+c₁中，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{×（-1）}^{2}{-b}_{1}{+c}_{1}=0}\\{-\frac{1}{2}{×（-4）}^{2}-{4b}_{1}{+c}_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=-\frac{5}{2}}\\{{c}_{1}=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線L₁解析式為y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x-2$；
同理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{×（-1）}^{2}{-b}_{2}{+c}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{×4}^{2}+{4b}_{2}{+c}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{_{2}=\frac{3}{2}}\\{{c}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線L₂解析式為y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x-2$；

（2）如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，

由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-16-{4b}_{1}{+c}_{1}}\\{0{=-m}^{2}{+b}_{1}m{+c}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=m-4}\\{{c}_{1}=4m}\end{array}\right.$，
∴拋物線L₁解析式為y=-x²+（m-4）x+4m；
∴點D坐標為（$\frac{m-4}{2}$，$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$），
∴DG=$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{{（m+4）}^{2}}{4}$，AG=$\frac{m+4}{2}$；
同理可得：拋物線L₂解析式為y=-x²+（m+4）x-4m；
∴EH=$\frac{{m}^{2}-8m+16}{4}$=$\frac{{（m-4）}^{2}}{4}$，BH=$\frac{4-m}{2}$，
∵AF⊥BF，DG⊥x軸，EH⊥x軸，
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，
∴∠ADG=∠EBH，
∵在△ADG和△EBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠EBH}\\{∠AGD=∠EHB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADG～△EBH，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{AG}{EH}$，
∴$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{4}}{\frac{4-m}{2}}$=$\frac{\frac{m+4}{2}}{\frac{{（m-4）}^{2}}{4}}$，化簡得：m²=12，
解得：m=±$2\sqrt{3}$；

（3）存在，例如：a=-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$；
當a=-$\frac{1}{3}$時，代入A，C可以求得：
拋物線L₁解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$（m-4）x+$\frac{4}{3}$m；
同理可得：拋物線L₂解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$（m+4）x-$\frac{4}{3}$m；
∴點D坐標為（$\frac{m-4}{2}$，$\frac{{（m+4）}^{2}}{12}$），點E坐標為（$\frac{m+4}{2}$，$\frac{{（m-4）}^{2}}{12}$）；
∴直線AF斜率為$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{12}}{\frac{4+m}{2}}$，直線BF斜率為$\frac{\frac{{（m-4）}^{2}}{12}}{\frac{m-4}{2}}$；
若要AF⊥BF，則直線AF，BF斜率乘積為-1，
即$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{12}}{\frac{4+m}{2}}$×$\frac{\frac{{（m-4）}^{2}}{12}}{\frac{m-4}{2}}$=-1，化簡得：m²=-20，無解；
同理可求得a=-$\frac{1}{4}$亦無解．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了相似三角形的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質；本題作出輔助線并證明△ADG～△EBH是解題的關鍵．