Question

20．如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC邊上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F．已知AD=CD，BE=2CE，且△ABC的面積為60平方厘米，則△ADF的面積為6平方厘米；如果把“BE=2CE”改為“BE=nCE”其余條件不變，則△ADF的面積為$\frac{30}{2n+1}$平方厘米（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 先連接CF，過點(diǎn)E作EG∥AC，交BD于G，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，再根據(jù)BE=2CE，且△ABC的面積為60平方厘米，求得△ACE的面積，再根據(jù)$\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，以及AD=CD，求得△ADF的面積即可；如果把“BE=2CE”改為“BE=nCE”其余條件不變，可以運(yùn)用相同的方法得出△ADF的面積．

解答 解：連接CF，過點(diǎn)E作EG∥AC，交BD于G，則
$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵AD=CD，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
又∵GE∥AD，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BE=2CE，且△ABC的面積為60平方厘米，
∴△ACE的面積為60×$\frac{1}{3}$=20平方厘米，
∴△ACF的面積為20×$\frac{3}{5}$=12平方厘米，
∵AD=CD，
∴△ADF的面積=6平方厘米；

∵EG∥AC，
∴$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵AD=CD，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{n}{n+1}$，
又∵GE∥AD，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵BE=nCE，且△ABC的面積為60平方厘米，
∴△ACE的面積為60×$\frac{1}{n+1}$=$\frac{60}{n+1}$平方厘米，
∴△ACF的面積為$\frac{60}{n+1}$×$\frac{n+1}{2n+1}$=$\frac{60}{2n+1}$平方厘米，
∵AD=CD，
∴△ADF的面積=$\frac{30}{2n+1}$平方厘米；
故答案為：6，$\frac{30}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的面積的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得線段的比值．解題時(shí)注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．