Question

20．如圖所示，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：①S₁+S₄=S₂+S₃；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂；④若S₁=S₂，則S₃=S₄，其中正確結(jié)論的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出②④正確，①③不正確，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，過點(diǎn)P分別作PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，
∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，
∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，即可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$矩形ABCD面積；
同理可得出S₂+S₄=$\frac{1}{2}$矩形ABCD面積；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正確；
當(dāng)點(diǎn)P在矩形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，S₁+S₂=S₃+S₄．
但P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，所以該等式不一定成立．
故①不一定正確；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵S₂+S₄=S₁+S₃；若S₁=S₂，則S₃=S₄，
∴④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，以及矩形對(duì)角線上點(diǎn)的判定，用矩形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．