Question

已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如圖1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=4，BD=6．
①若α=30°，β=60°，AB的長為

 

；
②若改變α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面積是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化的規(guī)律．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，EC=BD=6，因為BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；
（3）過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：
解：（1）∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案為：120°；


（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．
由（1）可知△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∴EC=BD=6，
∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
在RT△EBC中，EC=6，BC=4，
∴EB=

EC2-BC2

=

62-42

=2

5

∴AB=BE=2

5

．

②若改變α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面積不變化，
以下證明：
如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵K為BE的中點，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四邊形AKBH為平行四邊形．
又∵∠EBC=90°，
∴四邊形AKBH為矩形．∠ABE=∠ACD，
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分線．
∴AB=AE．
∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠EAC=∠BAD，
在△EAC與△BAD中

AB=AE ∠EAC=∠BAD AC=AD

∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD=6．
在RT△BCE中，BE=

EC2-BC2

=2

5

，
∴AH=

1

2

BE=

5

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=2

5

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造全等三角形．