Question

2．已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-4的頂點(diǎn)A在第四象限，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，并交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求拋物線y=x²-2mx+m²+m-4頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（2）若直線AP交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E，且$\frac{CP}{AC}=1$，求△OEP的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）拋物線解析式為y=x²-2mx+m²+m-4，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到x=m，y=m-4，然后消去m得到y(tǒng)與x的關(guān)系式即可．
（2）如圖，根據(jù)已知得出OE=4-2m，E（0，2m-4），設(shè)直線AE的解析式為y=kx+2m-4，代入A的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后聯(lián)立方程求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式表示出S=$\frac{1}{2}$（4-2m）（m-1）=-m²+3m-2=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，即可得出S的取值范圍．

解答 解：（1）由拋物線y=x²-2mx+m²+m-4可知，a=1，b=-2m，c=m²+m-4，
設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵x=-$\frac{2}$=m，
∴b=-2m，
y=$\frac{4c-^{2}}{4}$=$\frac{4（{m}^{2}+m-4）-（-2m）^{2}}{4}$=m-4=x-4，
即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式為y=x-4（0＜x＜4）；
（2）如圖，由拋物線y=x²-2mx+m²+m-4可知頂點(diǎn)A（m，m-4），
∵$\frac{CP}{AC}=1$，
∴$\frac{BE}{AB}$=1，
∵AB=m，
∴BE=m，
∵OB=4-m，
∴OE=4-m-m=4-2m，
∴E（0，2m-4），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+2m-4，
代入A的坐標(biāo)得，m-4=km+2m-4，解得k=-1，
∴直線AE的解析式為y=-x+2m-4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2m-4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m}\\{{y}_{2}=m-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m-1}\\{{y}_{2}=m-3}\end{array}\right.$，
∴P（m-1，m-3），
∴S=$\frac{1}{2}$（4-2m）（m-1）=-m²+3m-2=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴S有最大值$\frac{1}{4}$，
∴△OEP的面積S的取值范圍：0≤S≤$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的最值等，本題的關(guān)鍵是記住拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．