Question

16．定義：有三個(gè)角相等的四邊形叫做三等角四邊形．
（1）在三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=C，則∠A的取值范圍為60°＜∠BAD＜120°．
（2）如圖①，折疊平行四邊形DEBF，使得頂點(diǎn)E、F分別落在邊BE、BF上的點(diǎn)A、C處，折痕為DG、DH．
求證：四邊形ABCD為三等角四邊形；
（3）如圖②，三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若AB=5，AD=$\sqrt{26}$，DC=7，則BC的長(zhǎng)度為$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，確定出∠BAD的范圍；
（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；
（3）延長(zhǎng)BA，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BA，繼續(xù)延長(zhǎng)BA，使得AG=EG，連接DE；延長(zhǎng)BC，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥BC，繼續(xù)延長(zhǎng)BC，使得CH=HF，連接DF，由SAS證明△DEG≌△DAG，得出AD=DE=$\sqrt{26}$，∠DAG=∠DEA，由SAS證明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，證出DE∥BF，BE∥DF，得出四邊形DEBF是平行四邊形，得出DF=BE=7，DE=BF=$\sqrt{26}$，由等腰三角形的性質(zhì)得出EG=AG=$\frac{1}{2}$（BE-AB）=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=5，由平行四邊形DEBF的面積求出DH=$\frac{35}{26}$$\sqrt{26}$，在Rt△DCH中，由勾股定理求出CH=$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$，即可得出BC的長(zhǎng)度．

解答 （1）解：∵∠BAD=∠B=∠BCD，
∴3∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°-3∠BAD．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°-3∠BAD＜180°，
∴60°＜∠BAD＜120°；
故答案為：60°＜∠BAD＜120°；
（2）證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴∠E=∠F，DE∥BF，
∴∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四邊形ABCD是三等角四邊形；
（3）解：延長(zhǎng)BA，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BA，繼續(xù)延長(zhǎng)BA，使得AG=EG，連接DE；延長(zhǎng)BC，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥BC，繼續(xù)延長(zhǎng)BC，使得CH=HF，連接DF，如圖所示：
在△DEG和△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=EG}\\{∠AGD=∠EGD=90°}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DAG（SAS），
∴AD=DE=$\sqrt{26}$，∠DAG=∠DEA，
在△DFH和△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=HF}\\{∠DHC=∠DHF=90°}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△DFH≌△DCH（SAS），
∴CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，
∵∠BAD=∠B=∠BCD，
∴∠DEB+∠B=180°，∠DFB+∠B=180°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DF=BE=7，DE=BF=$\sqrt{26}$，
∴EG=AG=$\frac{1}{2}$（BE-AB）=$\frac{1}{2}$×（7-5）=1，
在Rt△DGA中，DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{26}）^{2}-{1}^{2}}$=5，
∵平行四邊形DEBF的面積=BE•DG=DH•BF，
即：7×5=DH×$\sqrt{26}$，
∴DH=$\frac{35}{26}$$\sqrt{26}$，
在Rt△DCH中，CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（7）^{2}-（{\frac{35}{26}\sqrt{26}）}^{2}}$=$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$，
∴BC=BF-2CH=$\sqrt{26}$-2×$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$=$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$；
故答案為：$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換-折疊問(wèn)題，四邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．