Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．
（2）作CG⊥BF于點G，利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．

解答 解：
（1）證明：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵AB=AC，
∴∠EAB=∠EAC，
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CBF=∠EAB，
∴∠CBF+∠EBA=90°，
 即∠ABF=90°，
∴直線BF是⊙O的切線；
（2）作CG⊥BF于點G，
在Rt△ABE中，sin∠EAB=sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=5，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BCG中sin∠CBF=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BC=2$\sqrt{5}$，
∴CG=2，
∵CG∥AB，
∴$\frac{GF}{BF}$=$\frac{CG}{AB}$，
∵BG=$\sqrt{B{C^2}-C{G^2}}$=$\sqrt{{{（2\sqrt{5}）}^2}-{2^2}}$=4，
∴GF=BF-BG=BF-4，
∵CG=2，AB=5，
∴$\frac{BF-4}{BF}$=$\frac{2}{5}$，
解得  BF=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定、直徑所對的圓周角、等腰三角形的性質、三角函數(shù)的定義、勾股定理，有一定的綜合性，熟記和圓有關的各種性質是解題的關鍵．