Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD于點E．
（1）用尺規(guī)作CF⊥BD于點F（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法與證明）；
（2）求證：AE=CF．

Answer 1

分析 （1）以C為圓心，大于AE長為半徑畫弧，分別交BD于點M，N兩點，再分別以M，N為圓心，以大于$\frac{1}{2}$MN為半徑畫弧，交于點G，連接CG并延長，交BD于點F，即可得CF⊥BD于點F；
（2）由AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，可得∠AEO=∠CFO=90°，又由在平行四邊形ABCD中，OA=OC，即可利用AAS，判定△AOE≌△COF，繼而證得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，①以C為圓心，大于AE長為半徑畫弧，分別交BD于點M，N兩點，
②再分別以M，N為圓心，以大于$\frac{1}{2}$MN為半徑畫弧，交于點G，
③連接CG并延長，交BD于點F，
即CF為所求；

（2）∵在平行四邊形ABCD中，OA=OC，
∵AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．

點評 本題主要考查較簡單的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△AOE≌△COF是關(guān)鍵．