Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切與點(diǎn)D，AC⊥CD于C，并交⊙O于E，連接DE
（1）求證：AD平分∠CAB
（2）若CE=2，sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用切線的性質(zhì)得OD⊥CD，則可判斷OD∥AC，所以∠CAD=∠ODA，加上∠OAD=∠ODA，于是得到∠OAD=∠CAD；
（2）連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，∠CED=∠B，則∠BAD=∠CDE，所以sin∠BAD=sin∠CDE=sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，在Rt△CDE中，利用正弦可計(jì)算出sDE=2$\sqrt{5}$，再證明DE=BD=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△ABD中利用正弦的定義可求出AB，從而得到OA的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵CD與⊙O相切與點(diǎn)D，
∴OD⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）解：連接BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠CED=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠BAD=∠CAD，
∴sin∠BAD=sin∠CDE=sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CDE中，sin∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=$\frac{2×5}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴DE=BD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}×5}{\sqrt{5}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了解直徑三角形．